Komplexe Zahlen: Wurzeln und Gleichungen

In einem Satz: Jede Gleichung der Form $z^n = w$ hat in den komplexen Zahlen genau $n$ Lösungen, und sie liegen als regelmäßiges Vieleck auf einem Kreis.

n-te Wurzeln

Definition

Sei $w = \rho\,e^{i\theta} \neq 0$ und $n \in \mathbb{N}$. Die Gleichung $z^n = w$ hat genau $n$ Lösungen:

$$z_k = \sqrt[n]{\rho}\;e^{\,i\,\frac{\theta + 2\pi k}{n}}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .$$

Herleitung: Mit $z = r\,e^{i\varphi}$ lautet die Gleichung $r^n e^{i\,n\varphi} = \rho\,e^{i\theta}$. Daraus folgt $r^n = \rho$ und $n\varphi = \theta + 2\pi k$ für eine ganze Zahl $k$, denn Winkel sind nur bis auf volle Umdrehungen festgelegt.

In einfachen Worten

Du suchst Zahlen, die $n$-mal mit sich selbst multipliziert $w$ ergeben. Eine Lösung findest du, indem du die Länge auf die $n$-te Wurzel setzt und den Winkel durch $n$ teilst. Die übrigen Lösungen erhältst du, indem du immer um $360^\circ/n$ weiterdrehst. Sie liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis, als Ecken eines regelmäßigen $n$-Ecks. Nach $n$ Schritten bist du wieder am Anfang, deshalb läuft $k$ nur bis $n - 1$.

So gehst du vor: n-te Wurzeln

1. Schreibe $w$ in Eulerform $\rho\,e^{i\theta}$ (Betrag, Winkel, Quadrant beachten).
2. Setze in die Formel ein und rechne $\sqrt[n]{\rho}$ aus.
3. Rechne die Winkel $\dfrac{\theta + 2\pi k}{n}$ für $k = 0, \dots, n - 1$ aus.
4. Schreibe jede Lösung in der geforderten Form, meist $a + bi$.
5. Probe: Potenziere eine Lösung mit $n$, es muss $w$ herauskommen. Zähle, dass es genau $n$ Lösungen sind.

Beispiel: Dritte Wurzel aus minus acht

Zu zeigen: Alle drei Lösungen von $z^3 = -8$ in der Form $a + bi$.

1. Eulerform: $w = -8 = 8\,e^{i\pi}$, also $\rho = 8$ und $\theta = \pi$.

2. Länge: $\sqrt[3]{8} = 2$.

3. Winkel: $\dfrac{\pi + 2\pi k}{3}$ für $k = 0, 1, 2$, das sind $\dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3}$.

4. Lösungen:

$$\begin{aligned} z_0 &= 2\,e^{i\pi/3} = 2\left(\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}\,i, \\ z_1 &= 2\,e^{i\pi} = -2, \\ z_2 &= 2\,e^{i\,5\pi/3} = 2\left(\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - \sqrt{3}\,i . \end{aligned}$$

5. Probe: $(-2)^3 = -8$. Die beiden anderen Lösungen haben ebenfalls den Betrag $2$ und den Winkel $\pm 60^\circ$ und ergeben beim Potenzieren mit $3$ den Winkel $\pm 180^\circ$, also $-8$.

Stolperstelle

Wer nur $z = -2$ nennt, hat zwei Lösungen vergessen. Über den komplexen Zahlen hat $z^n = w$ für $w \neq 0$ genau $n$ verschiedene Lösungen, nicht nur die reelle.

Der Fall $w = 0$ ist die Ausnahme: Aus $z^n = 0$ folgt $|z|^n = 0$, also $z = 0$. Es gibt nur eine verschiedene Lösung. Man sagt, $z = 0$ ist eine $n$-fache Lösung (Vielfachheit $n$). Deshalb verlangt die Formel oben $w \neq 0$, denn für $w = 0$ hat die Zahl keinen Winkel $\theta$.

Beispiel: Dritte Wurzel aus Wurzel drei minus i

Zu zeigen: Alle drei Lösungen von $z^3 - \sqrt{3} + i = 0$.

0. Umstellen: Wir bringen die Gleichung in die Form $z^3 = w$:

$$z^3 - \sqrt{3} + i = 0 \;\Leftrightarrow\; z^3 = \sqrt{3} - i .$$

1. Eulerform von $w = \sqrt{3} - i$: Betrag $\rho = \sqrt{3 + 1} = 2$. Die Zahl hat den Realteil $\sqrt{3} > 0$ und den Imaginärteil $-1 < 0$, sie liegt im vierten Quadranten. Mit $\tan\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$ folgt $\theta = -\dfrac{\pi}{6}$ ($-30^\circ$). Also

$$w = 2\,e^{-i\pi/6} .$$

2. Länge: $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}260$.

3. Winkel: $\dfrac{-\pi/6 + 2\pi k}{3}$ für $k = 0, 1, 2$:

$$-\frac{\pi}{18}\ (-10^\circ), \qquad \frac{11\pi}{18}\ (110^\circ), \qquad \frac{23\pi}{18}\ (230^\circ) .$$

4. Lösungen:

$$z_k = \sqrt[3]{2}\;e^{\,i\,\varphi_k} \quad\text{mit}\quad \varphi_0 = -10^\circ,\ \varphi_1 = 110^\circ,\ \varphi_2 = 230^\circ .$$

In der Form $a + bi$, mit $\cos\varphi$ und $\sin\varphi$ aus dem Taschenrechner:

$$\begin{aligned} z_0 &\approx 1{,}241 - 0{,}219\,i, \\ z_1 &\approx -0{,}431 + 1{,}184\,i, \\ z_2 &\approx -0{,}810 - 0{,}965\,i . \end{aligned}$$

Diese Winkel sind keine schönen Werte, deshalb gibt es hier keine einfache Form mit Wurzeln. Man lässt die Lösungen in Eulerform stehen oder gibt Näherungswerte an.

5. Probe: Es ist $|z_k|^3 = 2 = |w|$. Für $z_0$ ist $3 \cdot (-10^\circ) = -30^\circ$, also $z_0^3 = 2\,e^{-i\pi/6} = \sqrt{3} - i$. Für $z_1$ ist $3 \cdot 110^\circ = 330^\circ = -30^\circ + 360^\circ$, und für $z_2$ ist $3 \cdot 230^\circ = 690^\circ = -30^\circ + 720^\circ$. In allen drei Fällen kommt derselbe Winkel $-30^\circ$ heraus.

Die drei Lösungen liegen als Ecken eines gleichseitigen Dreiecks auf dem Kreis mit Radius $\sqrt[3]{2}$ um $0$, jeweils um $120^\circ$ gedreht.

Gleichungen mit Verschiebung

Steht links ein Ausdruck wie $(z + 1)^n$, führt man eine Substitution ein: $u = z + 1$. Man löst $u^n = w$ und rechnet am Ende zurück mit $z = u - 1$.

So gehst du vor: Substitution

1. Substituiere $u = z + c$.
2. Löse $u^n = w$ wie oben, es gibt $n$ Lösungen $u_k$.
3. Rechne zurück: $z_k = u_k - c$.
4. Zeichne die Lösungen: Die $u_k$ bilden ein regelmäßiges $n$-Eck um $0$, die $z_k$ dasselbe $n$-Eck, verschoben um $-c$.
5. Probe: Setze eine Lösung in die Ausgangsgleichung ein.

Beispiel: Sechste Wurzel mit Verschiebung

Zu zeigen: Alle sechs Lösungen $z$ und ihre Lage in der Zahlenebene.

1. Substitution: $u = z + 1$ ergibt $u^6 = 1 = 1 \cdot e^{i\cdot 0}$.

2. Lösen: $\rho = 1$ und $\theta = 0$, also

$$u_k = e^{\,i\,2\pi k/6} = e^{\,i\,\pi k/3}, \qquad k = 0, 1, \dots, 5 .$$

3. Zurückrechnen mit $z_k = u_k - 1$:

$k$	$u_k$	$z_k = u_k - 1$
0	$1$	$0$
1	$\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$	$-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$
2	$-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$	$-\tfrac{3}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$
3	$-1$	$-2$
4	$-\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$	$-\tfrac{3}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$
5	$\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$	$-\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$

4. Zeichnung: Die $u_k$ sind die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks auf dem Einheitskreis. Das Subtrahieren von $1$ verschiebt alles um eins nach links. Die Lösungen $z_k$ liegen also auf dem Kreis mit Radius $1$ um den Mittelpunkt $-1$:

5. Probe: Für $z = -2$ ist $(-2 + 1)^6 = (-1)^6 = 1$. Für $z_1$ ist $|z_1 + 1| = |u_1| = 1$ und der Winkel $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$, also $1$.

Quadratische Gleichungen

Definition

Die Gleichung $a z^2 + b z + c = 0$ mit $a \neq 0$ hat die Lösungen

$$z_{1,2} = \frac{-b \pm w}{2a}, \qquad\text{wobei } w^2 = D := b^2 - 4ac .$$

Die Zahl $w$ ist eine (komplexe) Wurzel aus der Diskriminante $D$.

In einfachen Worten

Es ist die bekannte Lösungsformel. Neu ist nur: $D$ darf negativ oder sogar komplex sein, denn eine Wurzel aus $D$ gibt es in $\mathbb{C}$ immer. Das $\pm$ deckt beide Wurzeln ab, du musst dich also nicht für ein Vorzeichen von $w$ entscheiden.

Beispiel 1: Negative Diskriminante

Zu zeigen: Beide Lösungen von $z^2 + 2z + 5 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Eine Wurzel ist $w = 4i$, denn $(4i)^2 = -16$. Also

$$z_{1,2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i .$$

Probe für $z = -1 + 2i$: $(-1 + 2i)^2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) + (-2 + 4i) + 5 = 0$.

Beispiel 2: Eine typische Gleichung mit negativer Diskriminante

Zu zeigen: Beide Lösungen von $z^2 + 6z + 13 = 0$.

Hier ist $a = 1$, $b = 6$ und $c = 13$. Damit

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16 .$$

Eine Wurzel aus $-16$ ist $w = 4i$, denn $(4i)^2 = 16 \cdot i^2 = -16$. Also

$$z_{1,2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i .$$

Probe für $z = -3 + 2i$: $(-3 + 2i)^2 + 6(-3 + 2i) + 13 = (9 - 12i - 4) + (-18 + 12i) + 13 = 0$. Die zweite Lösung $-3 - 2i$ ist das Konjugierte der ersten. Das ist kein Zufall: Bei reellen Koeffizienten treten nicht reelle Lösungen immer als konjugiertes Paar auf.

Beispiel 3: Komplexe Koeffizienten

Zu zeigen: Beide Lösungen von $z^2 + (1 - i)\,z - i = 0$.

$D = (1 - i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-i) = (1 - 2i - 1) + 4i = 2i$. Wir suchen $w$ mit $w^2 = 2i$. Es gilt $(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$, also $w = 1 + i$. Damit

$$z_{1,2} = \frac{-(1 - i) \pm (1 + i)}{2}, \qquad z_1 = \frac{-1 + i + 1 + i}{2} = i, \qquad z_2 = \frac{-1 + i - 1 - i}{2} = -1 .$$

Probe für $z = i$: $i^2 + (1 - i)\,i - i = -1 + i + 1 - i = 0$. Probe für $z = -1$: $1 - (1 - i) - i = 0$.

Stolperstelle

Die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist nicht einfach "$\sqrt{D}$" mit dem Taschenrechner. Du suchst eine Zahl $w$ mit $w^2 = D$, entweder durch Probieren (wie $1 + i$ für $2i$) oder systematisch mit der Eulerform aus dem Abschnitt oben.

Kubische Gleichungen

Eine Gleichung dritten Grades hat über $\mathbb{C}$ genau drei Lösungen, mehrfache mitgezählt. Man löst sie, indem man den Ausdruck in Faktoren zerlegt. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.

So gehst du vor: Faktorisieren

1. Suche eine Lösung durch Ausprobieren oder durch Ausklammern in Gruppen.
2. Zerlege den Ausdruck in Faktoren.
3. Setze jeden Faktor gleich null und löse die entstehenden Gleichungen.
4. Probe für jede Lösung.

Beispiel: Gruppen ausklammern

Zu zeigen: Alle drei Lösungen.

Wir klammern in Gruppen aus:

$$z^3 - 2z^2 + 4z - 8 = z^2\,(z - 2) + 4\,(z - 2) = (z - 2)\,(z^2 + 4) = 0 .$$

Aus $z - 2 = 0$ folgt $z = 2$. Aus $z^2 + 4 = 0$ folgt $z^2 = -4$, also $z = \pm 2i$. Die Lösungen sind $2$, $2i$ und $-2i$.

Probe für $z = 2i$: $(2i)^3 - 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 = -8i + 8 + 8i - 8 = 0$, mit $i^3 = -i$.

Bruchgleichungen

So gehst du vor: Bruchgleichung

1. Nenner null ausschließen: Notiere, welche $z$ nicht erlaubt sind.
2. Mit dem Nenner multiplizieren, damit der Bruch verschwindet.
3. Nach $z$ auflösen.
4. Probe, und prüfe, dass die Lösung nicht verboten ist.

Beispiel: Bruch mit Nenner z minus i

Zu zeigen: Die Lösung $z$ der Gleichung

$$\frac{z + 1}{z - i} = 2$$

mit $z \neq i$.

1. Verboten: $z \neq i$, sonst ist der Nenner null.

2. Multiplizieren mit $z - i \neq 0$:

$$\begin{aligned} z + 1 &= 2\,(z - i) && \\ z + 1 &= 2z - 2i && | - z \\ 1 + 2i &= z . && \end{aligned}$$

3. Probe: $z = 1 + 2i$ ist ungleich $i$, und

$$\frac{(1 + 2i) + 1}{(1 + 2i) - i} = \frac{2 + 2i}{1 + i} = \frac{2\,(1 + i)}{1 + i} = 2 .$$

Stolperstelle

Das Multiplizieren mit dem Nenner geht nur, wenn er nicht null ist. Prüfe deshalb am Ende, dass deine Lösung nicht genau der verbotene Wert ist. Hätte sich hier $z = i$ ergeben, wäre das keine Lösung.