Komplexe Zahlen: Eulerform und Potenzen

In einem Satz: Mit der Eulerform schreibt man eine komplexe Zahl als Länge und Drehwinkel in einem Ausdruck, und dadurch werden Multiplikation und hohe Potenzen einfach.

Die Eulerform

Definition

Für jeden Winkel $\varphi$ (im Bogenmaß) gilt die Eulersche Formel

$$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\,\sin\varphi .$$

Damit lässt sich die Polarform $z = r\,(\cos\varphi + i\,\sin\varphi)$ kürzer schreiben als Eulerform

$$z = r\,e^{i\varphi} \qquad\text{mit } r = |z| \text{ und } \varphi = \arg(z) .$$

Ein bekannter Spezialfall ist $e^{i\pi} = \cos\pi + i\,\sin\pi = -1$, also $e^{i\pi} + 1 = 0$.

In einfachen Worten

$e^{i\varphi}$ ist der Punkt auf dem Einheitskreis, der um den Winkel $\varphi$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht ist. Die Zahl $r\,e^{i\varphi}$ ist dieser Punkt, auf die Länge $r$ gestreckt. Man gibt also “wie weit” und “in welche Richtung” in einem Ausdruck an. Wichtig: Der Winkel steht im Bogenmaß, und $e^{i\varphi}$ wiederholt sich nach einer vollen Drehung, also $e^{i\varphi} = e^{i(\varphi + 2\pi)}$.

Mit der Eulerform rechnen sich Produkte und Quotienten einfach. Für $z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}$ und $z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}$ gilt

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}, \qquad \overline{z_1} = r_1\,e^{-i\varphi_1} .$$

Beim Multiplizieren multiplizierst du die Längen und addierst die Winkel. Das folgt aus dem Potenzgesetz $e^{a} e^{b} = e^{a+b}$.

Der Satz von de Moivre

Definition

Für jedes $n \in \mathbb{N}$ gilt

$$\bigl(r\,e^{i\varphi}\bigr)^n = r^n\,e^{i\,n\varphi} \qquad\text{das heißt}\qquad \bigl(\cos\varphi + i\,\sin\varphi\bigr)^n = \cos(n\varphi) + i\,\sin(n\varphi) .$$

In einfachen Worten

Beim Potenzieren wird die Länge hoch $n$ genommen und der Winkel mal $n$. Das ist die $n$-fache Anwendung der Multiplikationsregel: Jede Multiplikation dreht um den Winkel weiter und streckt um $r$.

So gehst du vor: hohe Potenzen

1. Betrag berechnen: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Winkel bestimmen: $\tan\varphi = b/a$. Quadrant prüfen, denn der Taschenrechner liefert für $a < 0$ den falschen Wert (siehe Betrag und Polarform).
3. In Eulerform schreiben: $z = r\,e^{i\varphi}$.
4. de Moivre anwenden: $z^n = r^n\,e^{i\,n\varphi}$.
5. Den Winkel $n\varphi$ um volle Umdrehungen $2\pi$ reduzieren.
6. Zurück in die Form $a + bi$: $r^n(\cos n\varphi + i\,\sin n\varphi)$ ausrechnen.
7. Probe: Der Betrag des Ergebnisses muss $r^n$ sein.

Beispiel: Die 13. Potenz von Wurzel 3 plus i

Zu zeigen: Am Ende muss ein Ausdruck der Form $a + bi$ dastehen.

1. Betrag: $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.

2. Winkel: Es ist $a = \sqrt{3} > 0$ und $b = 1 > 0$, die Zahl liegt im ersten Quadranten. Also gilt $\tan\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ und damit $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ ($30^\circ$).

3. Eulerform: $z = 2\,e^{i\pi/6}$.

4. de Moivre:

$$z^{13} = 2^{13}\,e^{i\,13\pi/6} = 8192\,e^{i\,13\pi/6} .$$

5. Winkel reduzieren: $\dfrac{13\pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}$, und $e^{i\,2\pi} = 1$. Also

$$z^{13} = 8192\,e^{i\pi/6} .$$

6. Zurück in $a + bi$: Mit $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ folgt

$$z^{13} = 8192\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\,\frac{1}{2}\right) = 4096\sqrt{3} + 4096\,i .$$

7. Probe: $|z^{13}| = 4096\sqrt{3 + 1} = 8192 = 2^{13}$. Das stimmt mit Schritt 4 überein.

Stolperstelle

Man darf nicht gliedweise potenzieren: $(\sqrt{3} + i)^{13}$ ist nicht $(\sqrt{3})^{13} + i^{13}$. Und den Winkel $13\pi/6$ solltest du auf $\pi/6$ reduzieren, bevor du Sinus und Kosinus ausrechnest, sonst rechnest du mit unhandlichen Winkeln. Das Ergebnis bleibt dasselbe, weil $\cos$ und $\sin$ sich nach $2\pi$ wiederholen.

Real- und Imaginärteil, Betrag und Konjugierte aus jeder Form

Je nach Darstellung liest man die Größen so ab:

Form	$\operatorname{Re}(z)$	$\operatorname{Im}(z)$	$\lvert z \rvert$	$\bar z$
$a + bi$	$a$	$b$	$\sqrt{a^2 + b^2}$	$a - bi$
$r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$	$r\cos\varphi$	$r\sin\varphi$	$r$	$r(\cos\varphi - i\sin\varphi)$
$r\,e^{i\varphi}$	$r\cos\varphi$	$r\sin\varphi$	$r$	$r\,e^{-i\varphi}$

So gehst du vor: Größen bestimmen

1. Bringe $z$ in die Form $a + bi$. Bei einem Bruch erweiterst du mit dem Konjugierten des Nenners, damit der Nenner reell wird.
2. Lies $a$ und $b$ ab.
3. Berechne Betrag und Konjugierte mit der Tabelle.
4. Probe für den Betrag: $|z_1 / z_2| = |z_1| / |z_2|$.

Beispiel: Ein Bruch mit komplexem Nenner

Zu zeigen: $\operatorname{Re}(z)$, $\operatorname{Im}(z)$, $|z|$ und $\bar z$.

1. Form $a + bi$: Wir erweitern mit $1 + i$, dem Konjugierten des Nenners. Der Nenner wird $(1 - i)(1 + i) = 1 + 1 = 2$:

$$z = \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + i + i^2}{2} = \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\,i .$$

2. Ablesen: $\operatorname{Re}(z) = \dfrac{1}{2}$ und $\operatorname{Im}(z) = \dfrac{3}{2}$.

3. Betrag und Konjugierte:

$$|z| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}, \qquad \bar z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\,i .$$

4. Probe: $|z| = \dfrac{|2 + i|}{|1 - i|} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. Das stimmt.