Komplexe Zahlen: Betrag und Polarform

In einem Satz: Eine komplexe Zahl ist ein Punkt in der Ebene, und man kann ihn entweder mit zwei Koordinaten oder mit Abstand und Winkel angeben.

Die Zahlenebene und der Betrag

Definition

In der komplexen Zahlenebene wird $z = a + b\,i$ als Punkt $(a, b)$ gezeichnet. Die waagerechte Achse ist die reelle Achse und die senkrechte Achse die imaginäre Achse.

Der Betrag von $z$ ist der Abstand des Punkts vom Ursprung. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} .$$

In einfachen Worten

Der Betrag sagt, wie weit die Zahl vom Nullpunkt entfernt ist, ganz gleich in welcher Richtung. Er ist wie die Länge eines Pfeils vom Ursprung zum Punkt.

Beispiel: Für $z = 3 + 4i$ ist $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Der Winkel

Definition

Das Argument $\varphi$ einer komplexen Zahl $z \neq 0$ ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Pfeil zu $z$, gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Man wählt meist den Wert im Bereich $-\pi < \varphi \leq \pi$, in Grad also $-180^\circ < \varphi \leq 180^\circ$.

In einfachen Worten

Der Winkel sagt, in welche Richtung der Pfeil zeigt. $0^\circ$ ist nach rechts, $90^\circ$ nach oben, $180^\circ$ nach links.

Für $a > 0$ ergibt sich der Winkel aus $\tan\varphi = b/a$, also $\varphi = \arctan(b/a)$. Für $z = 3 + 4i$ ist das $\varphi = \arctan(4/3) \approx 53{,}13^\circ$.

Stolperstelle

Der Taschenrechner liefert für $\arctan$ nur Werte zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$. Liegt die Zahl links der imaginären Achse ($a < 0$), stimmt das Ergebnis nicht. Für $z = -1 + i$ gibt $\arctan(1/(-1)) = -45^\circ$, der Pfeil zeigt aber nach links oben, also ist $\varphi = 135^\circ$. Für $z = -1 - i$ gibt $\arctan(1/1)$ den Wert $45^\circ$, richtig ist $\varphi = -135^\circ$. Zeichne dir den Punkt immer kurz auf und bestimme den Quadranten.

Zahl	Quadrant	$\arctan(b/a)$	richtiger Winkel $\varphi$
$1 + i$	I	$45^\circ$	$45^\circ$
$-1 + i$	II	$-45^\circ$	$135^\circ$
$-1 - i$	III	$45^\circ$	$-135^\circ$
$1 - i$	IV	$-45^\circ$	$-45^\circ$

Im zweiten Quadranten rechnet man $\varphi = \arctan(b/a) + 180^\circ$, im dritten $\varphi = \arctan(b/a) - 180^\circ$.

Die Polarform

Definition

Mit Betrag $r = |z|$ und Winkel $\varphi$ gilt die Polarform (auch trigonometrische Darstellung)

$$z = r\,(\cos\varphi + i\,\sin\varphi) .$$

Zwischen den Darstellungen gilt:

$$a = r\cos\varphi, \qquad b = r\sin\varphi, \qquad r = \sqrt{a^2 + b^2} .$$

In einfachen Worten

Die Form $a + b\,i$ sagt: so weit nach rechts, so weit nach oben. Die Polarform sagt: so weit weg vom Ursprung, in diese Richtung. Beides beschreibt denselben Punkt.

Beispiele

Von $a + b\,i$ nach Polarform: Für $z = 1 + i$ ist $r = \sqrt{2}$ und $\varphi = 45^\circ$, also

$$1 + i = \sqrt{2}\,\bigl(\cos 45^\circ + i\,\sin 45^\circ\bigr) .$$

Von der Polarform nach $a + b\,i$: Für $r = 2$ und $\varphi = 60^\circ$ gilt

$$z = 2\,\bigl(\cos 60^\circ + i\,\sin 60^\circ\bigr) = 2\left(\tfrac{1}{2} + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}\,i \approx 1 + 1{,}73\,i .$$