Mengen und Mengenoperationen

In einem Satz: Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen, und es zählt nur, ob ein Ding drin ist, nicht wie oft oder in welcher Reihenfolge.

Mengen und Teilmengen

Definition

Eine Menge fasst verschiedene Objekte, die Elemente, zusammen. Mit $x \in A$ schreibt man ”$x$ ist Element von $A$” und mit $x \notin A$ das Gegenteil. Man gibt Mengen auf zwei Arten an:

$$A = \{1, 2, 3\} \qquad\text{oder}\qquad A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3 \text{ und } x \geq 1\} .$$

Die leere Menge $\emptyset$ hat kein Element. Eine Menge $A$ ist Teilmenge von $B$, geschrieben $A \subseteq B$, wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ liegt:

$$A \subseteq B \;\Leftrightarrow\; \forall x:\; (x \in A \Rightarrow x \in B) .$$

Gilt zusätzlich $A \neq B$, heißt $A$ echte Teilmenge, geschrieben $A \subsetneq B$. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie sich gegenseitig enthalten:

$$A = B \;\Leftrightarrow\; A \subseteq B \,\land\, B \subseteq A .$$

In einfachen Worten

Stell dir eine Tüte mit Murmeln vor. Eine Menge sagt nur, welche Sorten drin sind. $\{1, 2, 2, 3\}$ und $\{3, 1, 2\}$ sind dieselbe Menge. Eine Teilmenge ist eine Auswahl aus der Tüte, auch die leere Auswahl und die ganze Tüte zählen dazu.

Stolperstelle

$\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ sind verschieden. $\emptyset$ ist eine leere Tüte. $\{\emptyset\}$ ist eine Tüte, in der genau ein Ding liegt, nämlich eine leere Tüte. Also hat $\emptyset$ null Elemente und $\{\emptyset\}$ ein Element.

Warum die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist

Für $\emptyset \subseteq A$ muss die Aussage "$x \in \emptyset \Rightarrow x \in A$" für jedes $x$ gelten. Die Vorbedingung $x \in \emptyset$ ist aber immer falsch. Nach der Wahrheitstafel der Implikation ist die Aussage dann wahr. Es gibt kein Element von $\emptyset$, das in $A$ fehlen könnte.

Mengenoperationen

Definition

Für Mengen $A$ und $B$ sind

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}, \qquad A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}, \qquad A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$$

die Vereinigung, der Schnitt und die Differenz.

In einfachen Worten

Die Vereinigung wirft beide Tüten zusammen. Der Schnitt behält nur, was in beiden Tüten liegt. Die Differenz $A \setminus B$ nimmt aus $A$ alles heraus, was auch in $B$ liegt.

Beispiel

Für $A = \{1, 2, 3, 4\}$ und $B = \{3, 4, 5\}$ gilt

$$A \cup B = \{1,2,3,4,5\}, \quad A \cap B = \{3,4\}, \quad A \setminus B = \{1,2\}, \quad B \setminus A = \{5\} .$$

Stolperstelle

Die Differenz ist nicht symmetrisch. Im Beispiel ist $A \setminus B = \{1,2\}$, aber $B \setminus A = \{5\}$. Vereinigung und Schnitt dagegen sind vertauschbar: $A \cup B = B \cup A$ und $A \cap B = B \cap A$.

Für Vereinigung und Schnitt gelten außerdem das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz, zum Beispiel

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) .$$

Wie man so eine Gleichung beweist, zeigt der Artikel Beweise mit Mengen.